许多看似自然的定义，实际上凝结着19世纪以来数学不断抽象与统一的历史过程。探究这些概念形成的历史，往往并不是现代教材的主要任务，却构成了理解这门课程的重要维度。《简明高等代数》（厦门大学出版社，2025.2）一书努力把历史发生的顺序、现代学科的逻辑结构以及学生的认知规律统一起来，让抽象概念重新获得问题背景。对于初学者、教育工作者以及热爱数学史的读者而言，这是一本值得细细品读的好教材。

撰文 | 王涛（中国科学院自然科学史研究所青年研究员）

今年春天，受宁德师范学院林寿教授邀请与厦门大学林亚南教授推荐，我有幸到宁德师范学院与福州大学访问交流。在宁德期间，我结识了该校数理学院的林秀清院长与蒋剑剑老师。一番交谈才知晓，我与蒋老师还有过共同参加2012年全国基础数学研究生暑期学校的经历。临别之际，蒋老师将他与林秀清教授合著的《简明高等代数》一书相赠。据蒋老师告知，这部教材来源于他多年来的教学实践，2025年由厦门大学出版社出版。展卷品读，书中浓郁的数学史气息令我感触颇深，也让我追忆起当年初识高等代数的那段求学时光。

蒋剑剑、林秀清《简明高等代数》

厦门大学出版社，2025年

20年前，我进入河北师范大学数学与应用数学专业，学习的是北京大学数学系编写的《高等代数》（第三版）。多年后我重读此书，才逐渐体会到它作为经典教材的精妙之处：书中各个概念环环相扣、层层递进，最终构建起高等代数完整而严谨的逻辑体系。可惜当年的我只是机械学习定义与定理，能够完成计算和证明，并未真正理解这些概念的本质与背后的来龙去脉。如果诚实一点，甚至可以说是学得一塌糊涂。

与此同时，我发现书中鲜有中国数学家的名字，于是下意识地认为，这是一套来自西方的知识体系。为此我曾到图书馆翻阅各种著作，希望找到一些国人的名字。记得第一次见到《李群与李代数》时满心欢喜，以为终于发现了一位中国数学家。查询后才知道，这位李（S. Lie）其实是一位挪威人。如今回想起来，这段青涩的小误会倒也别有趣味。

后来我进入数学史研究领域，除了逻辑上的“从何而来”，开始更加关注历史上的“从何而来”。线性方程组与行列式、矩阵之间究竟有着怎样的关系？线性变换的概念又是在怎样的数学发展过程中逐步形成的？向量空间为何采用这几条公理来刻画，而不是其他形式？许多看似自然的定义，实际上凝结着19世纪以来数学不断抽象与统一的历史过程。探究这些概念形成的历史，往往并不是于现代教材的主要任务，却构成了理解这门课程的重要维度。也正因为如此，当我读到《简明高等代数》时，书中浓厚的历史意识与问题意识让我产生了强烈共鸣。

《简明高等代数》以问题为驱动，以历史为线索，以结构为归宿。全书开篇从线性方程组出发，并以此贯穿前几章内容。这种安排并非简单的章节调整，而是在一定程度上呼应了代数学的发展历程：许多后来被抽象化、结构化的概念，最初都源于对方程求解问题的持续探索。编者将《九章算术》中的“方程术”纳入核心教学内容，这是中国古代数学家求解线性方程组的一套算法体系。公元263年，刘徽在为《九章算术》作注时，对其进行了细致阐释。从现代数学的角度回看，这套算法理论与高斯—若尔当消元法之间存在着耐人寻味的联系。

更重要的是，编者并未将这些历史材料仅作为课外阅读或文化点缀，而是将其融入知识讲解的过程之中，使读者能够在古今两种数学表达方式之间建立联系。本书将方程术作为贯穿古今的一条主线，其作用远不止求解线性方程组。例如求逆矩阵时，用初等行变换将(A/I)化为(I/A-1)；计算行列式时，可以用初等变换化为上三角再求积；判断向量组的极大线性无关组时，将列向量排成矩阵，用初等行变换化为阶梯型后直接读出结果。这样一来，读者看到的不再是彼此割裂的知识点，而是一种不断重复出现、不断深化发展的思想方法。

《九章算术》中的方程术（微波榭本）

从全书的章节架构来看，编者的巧思贯穿始终。教材前半部分以线性方程组为主线，围绕矩阵与行列式展开讨论；随后自然过渡到列向量空间模型，引出线性相关、基与维数等核心概念；继而讨论双线性型与一元多项式，最终进入抽象向量空间、线性映射以及欧氏空间算子理论。整个体系由具体到抽象、由计算到结构，层层递进，既照顾了初学者的认知规律，也保持了现代代数学的逻辑统一性。

这种编排最可贵之处，在于它努力揭示不同知识板块之间的内在联系。对于今天的学生而言，高等代数似乎本来就是一门独立而完整的课程，线性方程组、矩阵、行列式、二次型、线性空间、线性变换等内容仿佛天然属于同一门学科。然而从历史上来看，高等代数并非天然形成的知识体系。19世纪中叶以来，数学家逐渐认识到，原本分散于线性方程组、解析几何、数论、不变量论以及部分物理学中的许多对象，都具有共同的线性结构。正是在不断抽象、统一和重组的过程中，这些知识最终汇聚为今天所谓的高等代数。理解这一历史过程，也正是理解高等代数为何如此组织、为何以线性空间作为核心的关键所在。

如果说本书借助方程术展示了如何从历史进入高等代数，那么线性空间部分则体现了编者如何处理高等代数最核心、也最抽象的内容。

线性空间又称向量空间，这一名称本身便记录着数学抽象化的发展历程。19世纪中叶以来，数学家围绕四元数、超复数系统、矩阵以及函数等不同数学对象展开研究，物理学的发展则推动了几何向量理论走向成熟。随着研究不断深入，人们逐渐认识到，这些对象虽然来源不同，却具有十分相似的线性运算规律。于是，重要的不再是对象本身，而是它们所满足的共同结构。线性空间理论正是在这种不断抽象与统一的过程中逐渐形成的。

格拉斯曼《线性扩张理论》（1844年）

本书没有一开始就给出线性空间的抽象定义，而是先让读者充分接触列向量空间、矩阵空间、多项式空间等具体实例，让学生在实际问题中体会线性关系、生成、维数等概念的意义。在积累足够的感性认识之后，再将这些共同规律提炼为向量空间公理。对于初学者而言，这种由具体到抽象的路径显然比直接给出公理体系更容易理解。

教材在推理过程中并不回避几何直觉。例如一组向量线性相关，意味着张成子空间时发生“维度塌缩”；线性无关，则意味着张成空间的维数等于向量个数。在这一过程中，“张成子空间”成为统领性的核心概念，贯穿于极大线性无关组、秩、基与维数等内容的讨论。例如教材在说明“若整个向量组线性无关，则任何部分组也线性无关”时写道：“整体无塌缩，则任何部分无塌缩；若某部分塌缩，整体当然存在塌缩。”寥寥数语，化繁为简，颇能体现书名中“简明”二字的追求。

作为一名数学史工作者，我尤其看重这部教材的知识史价值。长期以来，不少学习者容易形成一种印象：中国古代数学只是一些零散的计算技巧，与现代数学没有关系。事实上，高等代数的理论形态确实主要形成于近代以来的数学发展之中，但其所处理的许多基本问题却拥有更为漫长的历史。《简明高等代数》并非将中国古代数学神话为高等代数的直接起源，而是在历史事实允许的范围内，建立起一种审慎而富有启发性的联系。通过这样的写法，读者既能够理解高等代数的形成过程，也能够看到不同文明在数学发展中的独特贡献。

重读这部《简明高等代数》，仿佛走完了一段跨越两千年的数学旅程：从中国传统数学的方程术，到19世纪的矩阵理论，再到20世纪初线性变换与线性空间的抽象体系，不同时代、不同地域的数学家围绕“线性结构”这一主题不断探索、不断深化。严格说来，高等代数的形成历史远比教材所呈现的脉络复杂得多；然而对于初学者而言，重要的并非知道所有历史细节，而是理解这些概念为何产生、这些理论为何必要。《简明高等代数》所提供的，正是这样一条具有启发意义的知识生成路径。

一本好的数学教材，不仅传授知识，更帮助人理解知识。阅读过程中，我越来越意识到，这部教材真正关心的并不仅仅是“讲什么”，而是“按照什么顺序讲”。它努力把历史发生的顺序、现代学科的逻辑结构以及学生的认知规律统一起来，让抽象概念重新获得问题背景，也让数学重新回到人类探索世界的漫长历程之中。对于高等代数初学者、数学教育工作者以及热爱数学史的读者而言，这都是一本值得细细品读的教材。

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